\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{physics}
\graphicspath{ {./} }
\usepackage{ctex}

\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}

\begin{document}
	
	\section{Bloch 波}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{bloch}
		\caption{示意图：a. 晶体中的周期性势阱及电子波函数，b. 单个晶胞中的势阱及波函数，体现了周期性边界。蓝色曲线是波函数，红色曲线是势阱。未按比例绘制}
		\label{fig:bloch}
	\end{figure}
	
	\footnote{本笔记是Griffiths《量子力学》的笔记。参考：小时百科“布洛赫理论”词条, Ashcroft, Mermin 《固体物理》}
	我们随后探讨一个复杂一点的模型，即晶体之中的电子。
	我们假设晶体内存在一个电子，其受到各个原子核产生的势的作用。
	晶体中原子核非常之多，排序又相对有序（形成“晶胞”），因此势能应该具有某种周期性。
	我们仍然需要求解定态Schrodinger方程以得到电子的波函数$\Psi$：
	\begin{equation}
		\Psi = \Psi(x) 
		\qquad 
		\hat H \Psi = ( - \frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{}{x} + V ) \Psi = E \Psi
		\qquad 
		V(x) = V(x + a)
		\qquad
		x \in (- \infty, +\infty)
	\end{equation}
	$a$是“晶胞”边长。直接求解几乎是不可能的，因为势能的形式非常复杂(要考虑每一个原子核产生的势)，
	并且浪费了势能如此良好的周期性。
	
	转念一想，既然势能是周期性的，那么电子波函数也应该是周期性的。
	在足够大的晶体中，这一个“晶胞”和下一个“晶胞”中电子波函数的形式应该没有显著的区别，因为他们感受到的“化学氛围”相同。
	因此一个取巧的办法是，仅在一个“晶胞”内求解Schrodinger方程，并要求它满足周期性条件，随后使用周期性条件将解拓展至整个晶体：
	\begin{equation} \label{eq_cell}
		\hat H \Psi = ( - \frac{\hbar^2}{2m} \pdv[2]{}{x} + V ) \Psi = E \Psi
		\qquad
		x \in (0, a)
	\end{equation}
	\begin{equation}
		\text{周期性条件} 
		\qquad
		\Psi(x+a) = \Psi(x)
		\qquad 
		\abs{\Psi(x+a)}^2 = \abs{\Psi(x)}^2
	\end{equation}
	Bloch说，周期性条件下，波函数可以相差一个“相位”
	\footnote
	{
		严格地做法是，平移相当于对波函数运用平移算符$\Psi(x+a) = \hat T \Psi(x)$，
		然后论证$\hat T$与$\hat H$互易，
		然后论证$\hat H$的本征态也是$\hat T$的本征态，
		然后论证$\hat T$本征态$\hat T \Psi = \lambda \Psi$的本征值$\lambda$由于$\hat T$的Unitary性而模长为$1$ $\abs{\lambda} = 1$，
		然后论证可以相差相位。
		这种标准程序非常冗长，具体参考Griffiths课本。
	}
	：
	\begin{equation} \label{eq_bloch_wave1}
		\Psi = \Psi(x) \qquad \Psi(x+a) = e^{iqa} \Psi(x) \qquad q = \frac{2 \pi}{a} n, n=\dots,-2,-1,0,1,2,\dots
	\end{equation}
	$e^{iqa}$的模长为$1$，保证了波函数平方作为概率密度的诠释。
	上式更正统的写法是
	\begin{equation} \label{eq_bloch_wave2}
		\Psi (x) = e^{iqx} u (x)
	\end{equation}
	这个是Bloch波的正统写法，是周期性条件下式\ref{eq_cell}的解。
	其中$u(x+a)=u(x)$是一个周期性的波，其具体形式和$V$有关。
	$q$也被称为“晶格动量”，这是晶体中的电子所特有的。
	
	\section{对Bloch波的进一步讨论}
	\begin{itemize}
		\item 式 \ref{eq_bloch_wave1} 或式 \ref{eq_bloch_wave2} 虽然形式不同，但物理意义实则相同，
		只需将$x+a$代入$\Psi(x)$即可验证（G书习题6.5）：
		\begin{equation}
			\Psi (x+a) = e^{iq(x+a)} u (x+a) = e^{iqa} (e^{iqx} u(x)) = e^{iqa} \Psi(x)
		\end{equation}
		
		\item 将式 \ref{eq_bloch_wave2} 代入 式 \ref{eq_cell}，我们发现(脚注提及的$\hat T$, $\hat H$互易性允许我们这么做)：
		\begin{equation}
			\begin{aligned}
				\hat H \Psi 
				&= \left( - \frac{\hbar^2}{2m} \pdv{}{x}\pdv{}{x} + V \right) (e^{iqx} u) \\
				&= - \frac{\hbar^2}{2m} \pdv{}{x} ~ \left( \pdv{}{x} ~ (e^{iqx} u) \right) + V e^{iqx} u (x) \\
				&= - \frac{\hbar^2}{2m} \pdv{}{x} \left( iq e^{iqx} u + e^{iqx} \pdv{u}{x} \right) + V e^{iqx} u (x) \\
				&= - \frac{\hbar^2}{2m} \left( (iq)^2 e^{iqx} u + (iq) e^{iqx} \pdv{u}{x} + (iq) e^{iqx} \pdv{u}{x} + e^{iqx} \pdv[2]{u}{x} \right) + V e^{iqx} u (x) \\
				&= - \frac{\hbar^2}{2m} \left( -q^2 e^{iqx} u + 2 (iq) e^{iqx} \pdv{u}{x} + e^{iqx} \pdv[2]{u}{x} \right) + V e^{iqx} u (x) \\
				&= E (e^{iqx} u)
			\end{aligned}
		\end{equation}
		因此
		\begin{equation}
			- \frac{\hbar^2}{2m} (-q^2 + 2 (iq) \pdv{}{x} + \pdv[2]{}{x} ) u + V u (x)
			= E u
		\end{equation}
		或者压缩为
		\begin{equation}
			\frac{1}{2m} (\hat p + \hbar q)^2 u + V u = E u
		\end{equation}
		也就是说，若电子具有晶格动量，那么在单个“晶胞”内求解Schrodinger方程时，需要相应修正动量算符的形式。
		
		\item 	只需少量推广，即可得到三维晶体中的Bloch波：
		\begin{equation}
			\Psi(\bvec r) = e^{i \bvec q \cdot \bvec r} u(\bvec r)
			\qquad q=(q_x,q_y,q_z), q_x = \frac{2\pi}{a_x} n_x, n_x = \dots,-2,-1,0,1,2,\dots,
			\dots
		\end{equation}
		其中$a_x$是相应方向上的晶胞边长等，其余同理。
		
		\item 	当然，这里还有一个小问题：如果我们真的完整运用周期性条件，即假定晶体是无穷大的，那么周期性的$\Psi$并不绝对可积，这个波函数实则无法归一化：
		$\int^{+\infty}_{-\infty} \abs{\Psi(x)}^2 \dd x = \sum_{n}^{\infty} \abs{\Psi}^2 = + \infty$(累和中的$\abs{\Psi}^2$代表单个晶胞内的波函数模平方和)。
		
		严格地解决这个问题需要引入大量数学技巧，或者粗浅地理解为晶体并非无穷大，而只是\textsl{非常大}，那么无界积分化为有界积分：
		$\int^{+L}_{-L} \abs{\Psi(x)}^2 \dd x = N \abs{\Psi}^2$，这样一来，归一化系数就只是\textsl{非常小}而不是无穷小。
		据我所知，在固体物理中很少讨论全局的归一化系数，因为它只是和单个晶胞内的归一化常数相差一个常数。
		
		当然这样做的后果是，我们错误地处理了边界处的几个晶胞（他们实则不满足周期性边界，而我们假定他们满足）。
		\textsl{不过，正如一位大师，大概是A.Zee，所说，“如果问题的边界条件对解有重要影响，那么说明这不是一个物理问题”。虽然我觉得这个观点有点太极端，毕竟表界面的处理是材料科学的重要课题，不可不品。}
		
	\end{itemize}
	
\end{document}